Third Workshop on

Surfaces in the Frontier

15-16-17 January/2025

  

Superficies topológicas y sus simetrías: Una introducción a grupos modulares de superficies de tipo finito e infinito
Israel Morales
Universidad de La Frontera 
Resumen
Una superficie topológica es un espacio topológico Hausdorff, 2do numerable y localmente homeomorfo al plano Euclidiano. Aunque la noción intuitiva de superficie se encuentra desde los comienzos de las matemáticas como ciencia formal, no fue hasta la primera mitad del siglo pasado que se logró clasificar por completo a las superficies. Este teorema figura como uno de los pilares fundamentales de todas las matemáticas.
Asociado a una superficie está su grupo de homeomorfismos, es decir, todas aquellas simetrías que admite la superficie. Este grupo es muy grande, es no numerable, y tiene una estructura topológica y algebraica muy rica. Dado que el grupo de homeomorfismo es demasiado grande, se introduce la relación de equivalencia en este grupo al decir que dos homeomorfismos son equivalentes si ambos están en la misma componente conexa por trayectorias, en otras palabras, si podemos deformar continuamente el primer homeomorfismo en el segundo. El conjunto de clases de equivalencia forma un grupo el cual se conoce como el “grupo modular (o mapping class group)” de la superficie.
Resulta que para una clase importante de superficies, el grupo modular es finitamente generado (y por lo tanto numerable). Desde este punto de vista, es mucho mejor trabajar con el grupo modular que con el grupo de homeomorfismos. A pesar de perder mucha información, resulta que el grupo modular aparece naturalmente en diversos contextos de las matemáticas; por ejemplo, en el estudio del espacio de Teichmüller, en el estudio del espacio moduli, en haces fibrados de superficies, en Teoría Geométrica de Grupos, en la clasificación de 3-variedades compactas, dinámica, etc.
Puede decirse que los grupos modulares de superficies son objetos viejos, que nacieron a la par con el establecimiento del Teorema de Clasificación de Superficies (alrededor de los años 20’s del siglo pasado). A pesar de ello sigue siendo un tema actual, con muchas publicaciones cada año y con prometedores resultados en el futuro. La importante literatura que se ha desarrollado alrededor de estos grupos demuestra que su estudio es clave en buena parte de las matemáticas contemporáneas; por lo tanto, es apremiante saber de ellos.

El objetivo de este mini-curso es dar a conocer los preliminares esenciales para introducirse en el estudio de los grupos modulares de superficies. Los temas que trataremos serán en el siguiente orden:

  1. Teorema de Clasificación de Superficies. En esta parte introduciremos los invariantes topológicos que determinan por completo a una superficie, compacta o no compacta, orientable o no orientable.
  2. Grupo de Homeomorfismos de Superficies. Esta sesión está dirigida a dar ejemplos de homeomorfismo en diferentes clases de superficies. Dotaremos al grupo de homeomorfismos con la topología compacto-abierta y revisaremos algunas de sus propiedades topológicas/geométricas más importantes, como por ejemplo, mostraremos que es un grupo topológico.
  3. Grupos Modulares de Superficies. En esta sesión introduciremos algunos subgrupos especiales del grupo de homeomorfismo que nos ayudarán a definir el mapping class group de una superficie. La mayor parte de la sesión la gastaremos en el cálculo explícito de este grupo para algunas superficies de complejidad topológica pequeña.
  4. Problemas abiertos. Finalizamos este curso con una discusión de problemas abiertos en el área de grupos modulares de superficies de tipo infinito (big mapping class groups).

Lecturas recomendadas
Referencias
  • Farb, Benson, and Dan Margalit. A primer on mapping class groups (pms-49). Vol. 41. Princeton university press, 2011.
  • Gallier, Jean H., and Dianna Xu. A guide to the classification theorem for compact surfaces. Berlin: Springer, 2013.
  • Richards, Ian. On the classification of noncompact surfaces. Transactions of the American Mathematical Society 106, no. 2 (1963): 259-269.
  • Banyaga, Augustin. The structure of classical diffeomorphism groups. Vol. 400. Springer Science & Business Media, 2013.
  • Fuks, Dmitrij B., and Vladimir A. Rokhlin. Beginner's course in topology, Universitext. (1984).