Superficies de Translación y Grupos de Veech 
Camilo Ramirez Maluendas
Universidad Nacional de Colombia (sede Manizales) (Colombia)
Resumen:
Las superficies de translación han aparecido naturalmente en el estudio de problemas inmersos en áreas como: Superficies de Riemann, Sistemas Dinánicos, Geometría algebraica entre otros. Desde el punto de vista histórico, estos objetos fueron introducidos por primera vez por R. H. Fox and R. B. Kershner en el manuscrito [1]. Allí, los autores describen el proceso conocido como el desdoblamiento para un billar racional, el cual asocia a cada billar
\[\phi_P\]
que proviene de un polígono euclidiano compacto 
\[P\]
, una superficie de translación 
\[S_P\]
. En este cursillo aprenderemos a obtener superficies de translación a partir del desdoblamiento e identificación de lados paralelos en polígonos euclidianos (compactos-no compactos). Adicionalmente, dotaremos a las curvas hiperelípticas (finitas-infinitas) y a los orígamis con estructura de translación. También estudiaremos ciertas propiedades geométricas de las superficies de translación (mansas-salvajes) como la curvatura, conexiones sillas, conjunto de holonomía entre otros [4].
En el año 1989, W. A. Veech [3], asoció a cada superficie de translación un grupo afín
\[\Gamma < {\rm GL}(2, \mathbb{R})\]
(el cual se conoce como el grupo de Veech) y probó que si el grupo de Veech 
\[\Gamma\]
de una superficie de translación compacta 
\[S\]
es una retícula (un grupo Fuchsiano tal que el cociente 
\[\mathbb{H}^2/\Gamma\]
es una superficie con área hiperbólica finita), entonces el comportamiento del flujo geodésico en 
\[S\]
tiene propiedades dinámicas parecidas a las que se describen en el Teorema de Weyl para el flujo geodésico en el toro. En este cursillo introduciremos el grupo de Veech y estudiaremos algunas de sus propiedades [2].
 
Referencias.
[1] Ralph H. Fox and Richard B. Kershner, Concerning the transitive properties of geodesics on a rational polyhedron, Duke Math. J. 2 (1936), no. 1, 147–150.
[2] Richard Evan Schwartz, Mostly Surfaces, Student Mathematical Library, vol. 60, American Mathematical Society, 2011.
[3] W. A. Veech, Teichmüller curves in moduli space, Eisenstein series and an application to triangular billiards, Invent. Math. 97 (1989), no. 3, 553–583.
[4] Ya. B. Vorobets, Plane structures and billiards in rational polygons:the Veech alternative, Uspekhi Mat. Nauk 51(1996), no. 5(311), 3–42 (Russian); English transl., Russian Math. Surveys 51 (1996), no. 5, 779–817.