Fibraciones polinomiales e integrales Abelianas
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| Salomón Rebollo Perdomo |
| Universidad del Bío-Bío |
| Resumen |
| Consideremos un polinomio no constante \(H\) y una \(1\)-forma diferencial polinomial \(\omega\) sobre el plano complejo. |
| El polinomio \(H\) determina una fibración singular localmente trivial sobre la línea compleja, cuyas fibras (curvas de nivel de \(H\)) son genéricamente superficies de Riemann compactas con algunas ponchaduras. |
| Se elige un valor genérico de \(H\) y en la fibra sobre este punto se fija un ciclo (lazo no homotópico a un punto). |
| Este ciclo puede ser transportado a las fibras vecinas y podemos integrar \(\omega\) sobre los ciclos obtenidos, dando origen a una función sobre la base de la fibración, llamada integral Abeliana, la cual es localmente univaluada y holomorfa. Surgen varias preguntas sobre la estructura de estas integrales Abelianas. Por ejemplo, ¿qué condiciones sobre \(H\) implican que la integral Abeliana sea globalmente univaluada? ¿Cuándo la integral Abeliana es una función polinomial? Si la integral Abeliana no se anula idénticamente, ¿tiene un número finito de ceros?, ¿cuántos ceros tiene?, etc. Consideraremos algunas familias de polinomios \(H\) con geometría y topología simple que permitirán comprender la dificultad que existe para dar respuestas generales a estas preguntas. |
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