El problema de Hurwitz para diferenciales abelianos
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| Rodolfo Gutierrez-Romo |
| Universidad de Chile |
| Resumen |
| En 1893, Hurwitz demostró que el número de automorfismos de una superficie de Riemann de género \(g\) está acotado por \(84(g-1)\). Además, se sabe que existen infinitos valores de g para los que esta cota se alcanza. En honor a él, el problema de Hurwitz clásico consiste en determinar el máximo número de automorfismos de una superficie de Riemann de género \(g\). Su respuesta solo se conoce parcialmente. En particular, no se sabe para qué valores de g se alcanza la cota superior de Hurwitz. |
| Una pregunta relacionada surge al dotar la superficie de Riemann de una \(1\)-forma holomorfa no nula, conocida como una superficie de traslación. Más precisamente, ¿cuál es el orden máximo del grupo de automorfismos de una superficie de traslación de género \(g\)? En 2013, Schlage-Puchta y Weitze-Schmithüsen demostraron una cota superior de \(4(g-1)\) y caracterizaron exactamente los valores de g que alcanzan esta cota. |
| En este cursillo, mostraremos este y otros avances recientes sobre este problema. Por ejemplo, mostraremos una cota inferior de \(2(g-1)\), y que esta cota inferior se alcanza para varias familias infinitas: por ejemplo, \(g=p^2+1\), donde \(p>3\) es un primo tal que \(2p+1\) no es primo. |
