Grupos de automorfismos de subshifts fuertemente irreducibles
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| Paola Rivera Burgos |
| Universidad de Santiago de Chile |
| Resumen |
| El grupo de automorfismos \({\rm Aut}(A^\mathbb{Z})\), con \(A\) un alfabeto finito, ha representado un desafío durante 50 años. Desde sus primeras apariciones, se han estudiado las propiedades de su estructura algebraica y de la dinámica de su acción en los shifts, generando preguntas que, hasta el día de hoy, siguen sin obtener respuestas. |
| La mayoría de los esfuerzos por entender este grupo se han centrado en \({\rm Aut}(A^\mathbb{Z})\) o \({\rm Aut}(A^{\mathbb{Z}^d})\), lo que ha dado lugar a resultados significativos tales como: una lista inicial de subgrupos que se realizan en \({\rm Aut}(A^{\mathbb{Z}})\) ([4]), una generalización de esta lista para el caso SFT mixing ([3]), y una descripción del centro del grupo ([5]), lo que también permitió presentar el primer ejemplo de dos grupos de automorfismos que no son isomorfos. |
| En esta charla, exploraremos los resultados obtenidos al cambiar la acción de \(\mathbb{Z}\) por la de un grupo arbitrario \(G\). Por ejemplo, el centro de \({\rm Aut}(A^G)\), que resulta ser similar a su versión clásica, salvo un cociente por puntos fijos. Además, si \(G\) es no localmente finito, tenemos que \({\rm Aut}(A^{\mathbb{Z}})\) se incrusta en \({\rm Aut}(A^G)\), lo que nos permite recuperar propiedades del caso clásico. Finalmente, si \(G\) es no promediable, probamos que \({\rm Aut}(A^{\mathbb{F}_2})\) se incrusta en \({\rm Aut}(A^G)\). Para estos resultados se usarán herramientas como el método de conveyor belt estudiado y presentado en [6]. Esta charla está basada en un trabajo colaborativo con Sebastián Barbieri y Nicanor Carrasco-Vargas [3]. |
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| Referencias |
| [1] S. Barbieri A geometric simulation theorem on direct products of finitely generated groups. Discrete Analysis. (2019), 9-25. DOI: 10.19086/da.8820 |
| [2] S. Barbieri, N. Carrasco-Vargas & P. Rivera-Burgos, The automorphism group of a strongly irreducible subshift on a group, https://arxiv.org/abs/2501.14463. |
| [3] M. Boyle, D. Lind & D. Rudolph. The automorphism group of a shift of finite type. Transactions of the American Mathematical Society, 306(1) (1988), 71–114. https://doi.org/10.2307/2000831 |
| [4] G. A. Hedlund. Endomorphisms and automorphisms of the shift dynamical system. Mathematical Systems Theory. 3 (1969), 320-375. |
| [5] Ryan, J. Patrick .The shift and commutativity. Mathematical systems theory. (1972), 82-85. |
| [6] V. Salo. A note on subgroups of automorphism groups of fullshifts. Ergodic Theory and Dynamical Systems. (2018). arXiv:1507.00820v1. |
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