SEMINARIO CRUZ DEL SUR

High-dimensional Hamilton-Jacobi PDEs: Approximation, Representation, and Learning

jueves 07 de abril de 2022 | 16.00 horas

Conferencista:  Dante Kalise del Imperial College London

 Abstract

Hamilton-Jacobi PDEs are a central object in optimal control and differential games, enabling the computation of robust controls in feedback form. High-dimensional HJ PDEs naturally arise in the feedback synthesis for high-dimensional control systems, and their numerical solution must be sought outside the framework provided by standard grid-based discretizations. In this talk, I will discuss the construction novel computational methods for approximating high-dimensional HJ PDEs. In the first part of the talk, I will present a numerical method based on tensor decompositions. Such a compressed representation of the value function has a complexity that scales linearly with respect to the dimension of the control system, allowing the solution of control problems over very high-dimensional states. In the second part of the talk, I will discuss the construction of a class of causality-free, data-driven methods which circumvent the numerical solution of the HJ PDE. I will address the generation of a synthetic dataset based on the use of representation formulas (such as Lax-Hopf or Pontryagin's Maximum Principle), which is then fed into a high-dimensional sparse polynomial model for training. The use of representation formulas providing gradient information is fundamental to increase the data efficiency of the method. I will present applications in control of nonlinear PDEs and agent-based models.

Simetrías de una curva algebraica: los desafíos de la característica positiva

Viernes 01 de abril de 2022 | 15.30 horas

Conferencista: María Alejandra Álvarez de la Universidad de Antofagasta, Chile.

 Abstract

Resumen: El estudio de las simetrías (o, en términos modernos, de los automorfismos) de una curva algebraica definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K es un tema clásico en geometría algebraica. En el caso complejo, este tema se remonta a los trabajos fundamentales de Schwartz, Klein, Noether, Weierstrass, Poincaré y Hurwitz. La prueba de la finitud del grupo de automorfismos de una curva compleja (o, si se prefiere, de una superficie de Riemann compacta) de género mayor que 1 y de la cota de Hurwitz (que establece que el tamaño del grupo de automorfismos de una superficie de Riemann está acotada superiormente por una función lineal en el género de la curva) se encuentran entre los mayores logros de las matemáticas del siglo XIX. ¿Y si K tiene característica positiva? Debido al fenómeno de la llamada “ ild ramification", el límite de Hurwitz puede fallar en este caso, dando lugar a curvas con "demasiados automorfismos". Algunos de estos ejemplos, como la famosa curva de Hermitiana, surgen en relación con una serie de áreas, más notablemente la geometría finita y la teoría de los códigos, lo que produce una rica interacción entre estas áreas. Esta charla es una suave introducción a los problemas, técnicas y desafíos de esta área de investigación.

Representaciones fieles para ciertas álgebras de Lie

Viernes 29 de octubre de 2021 | 16.00 horas

Conferencista: María Alejandra Álvarez de la Universidad de Antofagasta, Chile.

 Abstract

Dada un álgebra de Lie g, una forma natural de trabajar con ella es mediante el uso de una representación fiel, es decir, asociando a cada elemento de la base del álgebra una matriz adecuada. Esto puede no ser tan apropiado si las matrices que elegimos son de gran tamaño, por eso buscamos las de menor dimensión posible que permita preservar todas las propiedades del ́algebra. En esta charla mostraremos cómo obtener representaciones fieles para una clase de álgebras de Lie y ejemplos en los que la dimensión de las mismas.

Un corto vistazo a las ecuaciones de Navier-Stokes

Viernes 13 de agosto de 2021 | 16.00 horas

Conferencista: Óscar Jarrín de la Universidad de Las Américas, Quito, Ecuador.

 Abstract

En esta charla, haremos una corta introducción al problema de Navier-Stokes. Empezando por la motivación y relevancia física de estas ecuaciones, introduciremos luego algunos de los resultados más importantes en el análisis matemático de las mismas. Finalmente, daremos una breve descripción del célebre problema del milenio